给飞机选路 · 先判断

笔直的路，一定更短吗？

马德里 → 北京：用 40°N 同纬度模型选路。

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说出你的理由

① 沿纬线② 向北弯

还没有选择

给飞机选路 · 交流理由

你凭什么选这条？

先听一个不同的判断。

?

说出你的理由

① 沿纬线② 向北弯

选择①：图上直，就代表地面短吗？

给飞机选路 · 操作检验

把路线放回地球上。

① 沿纬线② 向北弯

可拖动地球更改视角

给飞机选路 · 建立解释

关键在球面，不在纸面。

① 40°N 纬圈 · 小圆

截面不经过球心。

② 大圆

截面经过球心。

两点间的大圆短弧，
是球面上的最短路。

移动纬圈位置，会有什么变化？

纬度40°N60°N60°S

用两个独立按钮分别显示大圆、小圆截面，再按需同时显示并旋转观察：冰青实线大圆盘过球心；金色虚线纬圈盘的圆心偏离球心，半径 r 小于球半径 R。每个可见截面的圆心都连接 A、B；两截面同时可见时才显示圆心之间的连线。这里给出球面最短路定理，不声称截面动画是完整证明。此题两点非重合、非对跖，较短大圆弧唯一。大圆不一定在所有地图上画成弯线。再按一次下一步，同步显示底部问题与球体右侧纬度滑杆；拖动可在 60°S—60°N 改变 A、B 的同一纬度，路线及已开启截面同步变化。回退一步隐藏探索并恢复 40°N，再展开可继续上次纬度。再按下一步才进入独立作答页。用底部问题引向赤道：纬圈向赤道移动时，截面与球心的距离怎样变化？让参与者据此推断，下一页独立作答后检验。

给飞机选路 · 独立新题

如果航线位于赤道？

① 沿赤道② 向北绕行

先选一条路线，说出理由，再按下一步。

A取赤道20°E的非洲内陆，B取赤道114°E的婆罗洲内陆；这是独立示意题，不沿用马德里—北京的经度与距离。开始只显示居中放大的地图与两条候选路径，隐藏地球及视角按钮。学生先作答，按下一步后地图缩小靠左、地球与视角按钮从右侧进入，仍停留在第5页；再按下一步才到总结。两条候选路径为：①沿赤道，②向北绕行。②保留40°N算例中弯线的地图形状，平移到赤道端点；它不是大圆短弧。先收取个人选择和理由，再验证距离。正确答案是①：赤道本身是大圆，A、B间的赤道短弧最短；不能机械套用“图上弯的路线更短”。距离从实际显示的同源球面路径计算。验证后保留初答；重新作答显式开启本题新一轮。右键到总结回顾。

给飞机选路 · 总结回顾

两次选路，为什么答案不同？

马德里 → 北京 · 40°N 模型

① 沿纬线② 向北弯

② 向北弯，反而更短。

赤道 · 两个陆地点

① 沿赤道② 向北绕行

① 沿赤道，这次更短。

大圆短弧，是球面上的最短路。

分三层回顾，均由教师按下一步推进：进入时只显示左侧40°N案例；第一次推进，右侧赤道案例原位淡入，左侧保持不变；第二次推进，两幅地图在原位置淡出，对应的可拖动地球淡入；保留 A、B 和路线编号，左侧突出②、右侧突出①的大圆短弧，下方只出现一行“大圆短弧，是球面上的最短路。”。左键可逐步收起；不自动播放。用两个已讲过的例子回顾：40°N马德里—北京简化模型中，②向北弯的大圆短弧更短；赤道陆地点之间，①沿赤道才是大圆短弧。共同判据是球面上的实际路线，而不是地图上看起来直还是弯。两幅地图可点击回到对应检验页，保留先前操作状态。总结面向全班，不展示个人作答记录或面向买家的教学观察。邀请学生用自己的话解释两个例子为什么答案不同；“再选一次”可清空本次选择与操作，回到开场。打印版保留两例球面图与核心结论。